Himpunan Matematika

Himpunan (set)

1.     Definisi Himpuan

Definisi: Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

2.     Penyajian Himpunan

1. Enumerasi

Contoh soal:

-  Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.     

-  Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.            

-  C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

-  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

-  C  = {a, {a}, {{a}} }

-  K  = { {} }                                                                                                                

-  Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }        

-  Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.                                                                                                 

Keanggotaan

x Î A : x merupakan anggota himpunan A;

x Ï A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh soal:

Misalkan: A = {1, 2, 3, 4},  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

       K  = {{}}

maka

3    A

5    B

{a, b, c} Î R

            c Ï R  

                  {} Î K

                  {} Ï R                                                                                                             

2. Simbol-simbol Baku

P =  himpunan bilangan bulat positif  =  { 1, 2, 3, ... }

N =  himpunan bilangan alami (natural)  =  { 1, 2, ... }

Z =  himpunan bilangan bulat  =  { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q =  himpunan bilangan rasional

R =  himpunan bilangan riil

C =  himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh soal:

Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3.   Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x ú syarat yang harus dipenuhi oleh x } 

Contoh soal:

1)  A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

       A = { x | x  adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari  5}

 atau

 A  =  { x | x  P, x < 5 } 

     yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

2)  M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}                    

4. Diagram Venn

Contoh soal

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

3.     Kardinalitas

Definisi: Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau êA ê

Contoh soal:

1)   B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },

          atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8

2)  T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5

3)  A = {a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3                                                                                                                        

 

4.     Himpunan Kosong

Definisi: Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi : Æ atau {}

Contoh soal:

1)   E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

2)  P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

3) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x² + 1 = 0 }, n(A) = 0                   

Keterangan:

·           himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}

·           himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}

·           {Æ} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

5.     Himpunan Bagian (Subset)

Definisi: Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A  Í B

Diagram Venn:

                                               

Contoh soal:

1)  { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}

2) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}           

3) N Z R C

4) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x  ³, y  ³ 0 } dan

       B = { (x, y) | 2x + y < 4,  x  ³ 0 dan y  ³ 0 },  maka B A.                   

      

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).

(c) Jika A Í B dan B Í C, maka A Í C

Keterangan:              

·      A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper subset dari A.

·      A Í B berbeda dengan A Ì B

(i)           A Ì B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ¹ B.

       A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

 Contoh: {1} dan {2, 3} adalah  proper subset dari {1, 2, 3}

(ii) A Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah  himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.

6.     Himpunan yang Sama

Definisi:

·           A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

·           A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ¹ B.

Notasi : A = B  «  A Í B dan B Í A

Contoh soal:

1)   Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

2)  Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

3) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B                                                  

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C    

(b) jika A = B, maka B = A

(c) jika A = B dan B = C, maka A = C

7.     Himpunan yang Ekivalen

Definisi: Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A ~ B  « ½A½ = ½B½

Contoh soal:

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab ½A½ = ½B½ = 4                     

8.     Himpunan Saling Lepas

Definisi: Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

Notasi : A // B

Diagram Venn:

Contoh soal:

Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.            

         

9.     Himpunan Kuasa

Definisi: Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.                         

Notasi : P(A) atau 2^A

Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2m.

Contoh soal:

Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}                                             

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.                                                                                         

10. Operasi Terhadap Himpunan

a. Irisan (intersection)

Notasi : A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }

Contoh soal:

1) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},

  maka A Ç B = {4, 10}

2) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = .

 Artinya:  A // B              

           

b.  Gabungan (union)

Notasi : A È B = { x | x Î A atau x Î B }

Contoh soal:

1)  Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

2) A = A                                                                                                           

 

c.  Komplemen (complement)

Notasi :  = { x | x Î U, x Ï A }

Contoh soal

1) Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

(i)                jika A = {1, 3, 7, 9}, maka  = {2, 4, 6, 8}

(ii)              jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }                                      

2) Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

(i)      “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” à (E Ç A) È (E Ç B) atau E Ç (A È B)

(ii)    “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” à A Ç C Ç D

(iii)  “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” à                                            

d. Selisih (difference)

Notasi : A – B = { x | x Î A dan x Ï B } =  A Ç

Contoh soal:  

1)   Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A =

2)  {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

 

e.  Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Notasi: A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B) È (B – A)

Contoh soal:

1)     Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

2)     Misalkan

U = himpunan mahasiswa

P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80

Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80

Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.

(i)       “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Ç Q

(ii)     “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q

(iii)       “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P È Q)        

 

TEOREMA 2.  Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

            (a) A Å B = B Å A                                      (hukum komutatif)

            (b) (A Å B )  Å C = A Å (B Å C )                   (hukum asosiatif)

           

f.  Perkalian Kartesian (cartesian product)

Notasi: A ´ B = {(a, b) ½ a Î A dan b Î B }

Contoh soal:

1)      Misalkan C = { 1, 2, 3 },  dan D = { a, b }, maka
      C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

2)     Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
 A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar

Catatan:

1.      Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.

2.      Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ¹ (b, a).

3.      Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A  dengan syarat A atau B tidak kosong.

Pada Contoh 20(i) di atas, D ´ C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.

4.    Jika A = Æ atau B = Æ, maka A ´ B = B ´ A =  Æ

 

Contoh soal:

Misalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }

         B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?

Jawab:

½A ´ B½ = ½A½×½B½ = 4 × 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.                                                                                   

Daftarkan semua anggota himpunan berikut:

(a) P(Æ)    (b) Æ ´ P(Æ)  (c) {Æ}´ P(Æ)            (d) P(P({3})) 

Penyelesaian:

(a)  P(Æ) = {Æ}

(b)  Æ ´ P(Æ) = Æ   (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)

(c)   {Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))

(d)  P(P({3})) = P({ Æ,  {3} }) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ, {3}} }                                                         

11.Perampatan Operasi Himpunan

           

Contoh soal:

1) A (B1B2  ... Bn) = (A B1) (A B2) ... (A Bn)

2) Misalkan A = {1, 2},   B = {a, b}, dan C = {a, b}, maka

A ´ B ´ C = {(1, a, a), (1, a, b), (1, b, a), (1, b, b), (2, a, a), (2, a, b), (2, b, a), (2, b, b) }

12.Hukum-hukum Aljabar Himpunan

1.   Hukum identitas:     A = A     A U = A	2.   Hukum null/dominasi:     A =     A U = U
3.   Hukum komplemen:     A  = U     A  =	4.   Hukum idempoten:     A A = A     A A = A
5.   Hukum involusi:     = A	6.   Hukum penyerapan (absorpsi):     A (A B) = A     A (A B) = A
7.   Hukum komutatif:     A B = B A     A B = B A	8.   Hukum asosiatif:     A (B C) = (A B) C     A (B C) = (A B) C
9.   Hukum distributif:     A (B C) = (A B) (A C)     A (B C) = (A B) (A C)	10. Hukum De Morgan:      =      =
11.  Hukum 0/1      = U      = Æ

 

13.Prinsip Dualitas

Definisi: Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan

        Inggris (juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan

Peraturan:

        (a) di Amerika Serikat,

                        -   mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,     

-          pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,

-          bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

(b) di Inggris,

-          mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,

-          pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,

-          bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

Prinsip dualitas:

Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.

(Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti  ® ,  ® ,  ® U, U ® , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

1.   Hukum identitas:    A = A	Dualnya: A U  = A
2.   Hukum null/dominasi:    A =	Dualnya: A U = U
3.   Hukum komplemen:     A  = U	Dualnya: A =
4.   Hukum idempoten:     A A = A	Dualnya: A A = A
5.   Hukum penyerapan:     A (A B) = A	Dualnya:        A (A B) = A
6.   Hukum komutatif:     A B = B A	Dualnya:        A B = B A
7.   Hukum asosiatif:  A (B C) = (A B) C	Dualnya:  A (B C) = (A B) C
8.   Hukum distributif: A (B C)=(A B) (A C)	Dualnya:  A (B C) = (A B) (A C)
9.   Hukum De Morgan:      =	Dualnya:         =
10.  Hukum 0/1     = U	Dualnya:         = Æ

Contoh soal:

Dual dari (A B) (A ) = A adalah

        (A B) (A ) = A.

14. Prinsip Inklusi-Eksklusi

Untuk dua himpunan A dan B:

                        ½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½                                                              

            ½A Å B½ = ½A½ +½B½ – 2½A Ç B½                                     

Contoh soal:

Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?

Penyelesaian:

   A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,

   B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,

   A Ç B =  himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),

yang ditanyakan adalah ½A È B½.

½A½ = ë100/3û  = 33,           

½B½ = ë100/5û  = 20,           

½A Ç B½ = ë100/15û  = 6

            ½A È B½ = ½A½ + ½B½ –  ½A Ç B½ = 33 + 20 – 6 = 47

Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.                                                                           

Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku

½A È B È C½ = ½A½ + ½B½ + ½C½ –  ½A Ç B½ –

      ½A Ç C½ –  ½B Ç C½ + ½A Ç B Ç C½     

Untuk himpunan A₁, A₂, …, A_r, berlaku:

                                               

½A₁ È A₂ È … È A_r½ = ½A_i½ – ½A_i Ç A_j½ +

½A_i Ç A_j Ç A_k½ + … +   

 (-1)^r-1 ½A₁ Ç A₂ Ç … Ç A_r½  

15. Partisi

Definisi: Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A₁, A₂, … dari A sedemikian sehingga:

(a)              A₁ È A₂ È … = A, dan

(b)              A_i Ç A_j = Æ untuk i ¹ j  

Contoh soal:

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A. 

 

 

16. Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan

·         Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.

·         Pernyataan dapat berupa:

1.      Kesamaan (identity)

Contoh: Buktikan “A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)”

2.      Implikasi

Contoh: Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku bahwa A Í C”.

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Contoh soal:

Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) dengan diagram Venn.

Bukti:

A Ç (B È C)                              (A Ç B) È (A Ç C)   

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.

Terbukti bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).     

                                   

·         Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.

·         Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn  tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal. 

2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan

Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C). 

Bukti:

A	B	C	B È C	A Ç (B È C)	A Ç B	A Ç C	(A Ç B) È (A Ç C)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Karena kolom A Ç (B È C) dan kolom (A Ç B) È (A Ç C) sama, maka A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C). 

3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.

Contoh soal: Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A Ç B) È (A Ç ) = A

Bukti:

(A Ç B) È (A Ç )  = A Ç (B È )            (Hukum distributif)

                             = A Ç U                  (Hukum komplemen)

                             = A                          (Hukum identitas)                                       

           

Contoh soal:  Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A È (B – A) = A È B

Bukti:

            A È (B – A)  = A È (B Ç ) (Definisi operasi selisih)

                               = (A È B) Ç (A È )     (Hukum distributif)

                               = (A È B) Ç U                  (Hukum komplemen)

                               = A È B                            (Hukum identitas)                       

Contoh soal:  Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa

         (i)  A È ( Ç B) = A È B    dan

(ii)  A Ç ( È B) = A Ç B

Bukti:

(i)        A È ( Ç B)  = ( A È ) Ç (A Ç B)           (H. distributif)

                                         =  U Ç  (A Ç B)                  (H. komplemen)

                                         =  A È B                             (H. identitas)             

(ii)       adalah dual dari (i)

A Ç ( È B)  = (A Ç ) È  (A Ç B)           (H. distributif)

                                         = Æ  È  (A Ç B)                 (H. komplemen)

                                        =  A Ç B                              (H. identitas)             

           

4. Pembuktian dengan menggunakan definisi 

·         Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (Í atau Ì).

Contoh soal:.  Misalkan A dan B himpunan. Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka A Í C. Buktikan!

Bukti:

(i)      Dari definisi himpunan bagian, P Í Q jika dan hanya jika setiap x Î P juga Î Q. Misalkan x Î A. Karena A Í (B È C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga Î (B È C).

Dari definisi operasi gabungan (È), x Î (B È C) berarti x Î B atau x Î C.

(ii)     Karena x Î A dan A Ç B = Æ, maka x Ï B

Dari (i) dan (ii), x Î C harus benar. Karena "x Î A juga berlaku x Î C, maka dapat disimpulkan A Í C . 

 

17.Himpunan Ganda

Definisi: Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).

Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.

• Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda.  Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.

• Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.

• Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.

 

Operasi Antara Dua Buah Multiset:

Misalkan P dan Q adalah multiset:

1.      P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

     Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },

 P Q = { a, a, a, b,  c, c, d, d }

2.      P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

     Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c }

 P Q = { a, a, c }

3.  P – Q adalah suatu  multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan:

   multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif

          0, jika selisihnya nol atau negatif.

     Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = {  a, a, b, b, b, c,

                   c, d, d, f } maka P – Q  = { a, e }

4.      P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.

     Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },

                  P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }

18.Tipe Set dalam Bahasa Pascal

Definisi: Bahasa Pascal menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal (integer, character).

    Contoh soal:

type

               HurufBesar = ‘A’..‘Z’;  { enumerasi }

               Huruf = set of HurufBesar;

            var

               HurufKu : Huruf;

Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan pernyataan berikut:

            HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’];

            HurufKu:=[‘M’];

            HurufKu:=[];         { himpunan kosong }

·         Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan adalah operasi gabungan, irisan, dan selisih seperti pada contoh berikut:

 {gabungan}

            HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’, ‘E’];

{irisan}

            HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];

{selisih}

HurufKu:=[‘A’, ‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’, ‘E’];

• Uji keanggotaan sebuah elemen di dalam himpunan dilakukan dengan menggunakan opeator in seperti contoh berikut:

            if ‘A’ in HurufKu then          ...

• Di dalam kakas pemrograman Delphi, set sering digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya himpunan icon untuk window:

type

       TBorderIcon=(biSystemMenu, biMinimize,

       biMaximaze);

       Huruf = set of TBoderIcon;